Question

1．已知方程x²+3$\sqrt{3}$x+4=0两个实根分别是x₁，x₂，求arctanx₁+arctanx₂．

Answer 1

分析 利用韦达定理求得x₁+x₂和x₁•x₂ 的值，利用两角和的正切公式求得tan（arctanx₁+arctanx₂）的值，可得arctanx₁+arctanx₂的值．

解答 解：∵方程x²+3$\sqrt{3}$x+4=0两个实根分别是x₁，x₂，∴x₁+x₂=-3$\sqrt{3}$，x₁•x₂ =4，
∴x₁和x₂都小于零，arctanx₁ ∈（-$\frac{π}{2}$，0），arctanx₂∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴arctanx₁+arctanx₂ ∈（-π，0）．
∴tan（arctanx₁+arctanx₂）=$\frac{tan（arcta{nx}_{1}）+tan（arcta{nx}_{2}）}{1-tan（arcta{nx}_{1}）•tan（arcta{nx}_{2}）}$=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{1{-x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴arctanx₁+arctanx₂ =-$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查韦达定理、两角和的正切公式，根据三角函数的值求角，属于中档题．