Question

6．在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求α+2β的值．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B的纵坐标，利用任意角的三角函数的定义求出tanα和 tanβ，再利用两角和的正切公式求得tan（α+β）的值．
（2）先求出 tan2β，tan（α+2β）=1．由（1）可得α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$）、β∈（$\frac{3π}{4}$，π），可得α+2β∈（2π，$\frac{8π}{3}$），从而求得 α+2β 的值．

解答 解：（1）平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，
已知A，B的横坐标分别为-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则A，B的横坐标分别为$\sqrt{{1-（-\frac{\sqrt{2}}{10}）}^{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，$\sqrt{{1-（-\frac{2\sqrt{5}}{5}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴tanα=$\frac{\frac{7\sqrt{2}}{10}}{-\frac{\sqrt{2}}{10}}$=-7，tanβ=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=-$\frac{1}{2}$，∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=-$\frac{5}{3}$．
（2）由于tan2β=$\frac{2tanβ}{1{-tan}^{2}β}$=-$\frac{4}{3}$，tan（α+2β）=$\frac{tanα+tan2β}{1-tanα•tan2β}$=1．由（1）可得α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$）、β∈（$\frac{3π}{4}$，π），
故α+2β∈（2π，$\frac{8π}{3}$），∴α+2β=$\frac{9π}{4}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．