Question

（2013•闵行区二模）给出下列四个命题：
①如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，则复数z在复平面的对应点的轨迹是椭圆．
②若对任意的n∈N^*，（a_n+1-a_n-1）（a_n+1-2a_n）=0恒成立，则数列{a_n}是等差数列或等比数列．
③设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（-x）|恒成立，则f（x）是R上的奇函数或偶函数．
④已知曲线C：

x2 9

-

y2 16

=1和两定点E（-5，0）、F（5，0），若P（x，y）是C上的动点，则||PE|-|PF||＜6．
上述命题中错误的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①依据|Z+i|+|Z-i|=2的几何意义得到对应点的轨迹是线段；
②由于对任意的n∈N^*，（a_n+1-a_n-1）（a_n+1-2a_n）=0恒成立，
则由两因式分别为0，可求出数列{a_n}的递推公式，继而可得到数列是等差数列或等比数列；
③由于对任意的x∈R，|f（x）|=|f（-x）|恒成立，则f（x）=f（-x）或f（x）=-f（-x），则可判断函数的奇偶性；
④若设P（x，y）（x＞0，y≥0），则可将曲线C：

x2 9

-

y2 16

=1化简为

x

3

-

y

4

=1（x＞0，y≥0）
再画出图形，找到特殊点，当y=0时，即可求出||PE|-|PF||的值，继而判断正误．

解答：解：①|Z+i|表示复平面上，点Z与点-i的距离，|Z-i|表示复平面上，点Z与点i的距离，
∴|Z+i|+|Z-i|=2，表示复平面上，点Z与点i、-i的距离之和等于2．则对应点的轨迹是线段，故①错；
②由于对任意的n∈N^*，（a_n+1-a_n-1）（a_n+1-2a_n）=0恒成立，
则（a_n+1-a_n-1）=0或（a_n+1-2a_n）=0，所以a_n+1-a_n=1或a_n+1=2a_n，则数列{a_n}是等差数列或等比数列，故②正确；
③由于对任意的x∈R，|f（x）|=|f（-x）|恒成立，则f（x）=f（-x）或f（x）=-f（-x），则f（x）是R上的偶函数或奇函数，故③正确；
④设P（x，y）（x＞0，y≥0）是C上的动点曲线C：

x2 9

-

y2 16

=1，则

x

3

-

y

4

=1（x＞0，y≥0）
又由于两定点E（-5，0）、F（5，0），则P、E、F三点位置如图示．

当y=0时，P点与Q点重合，即||PE|-|PF||=||QE|-|QF||=6，故④错误．
故答案为 B．

点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，属于基础题．我们需对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．