（本题满分18分）
对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：
①在内是单调函数；
②当定义域是时，的值域也是．
则称是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．
（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）
（18分）（1）设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增．
若是已知函数的“和谐区间”，则……………4分
故、是方程的同号的相异实数根．
无实数根，函数不存在“和谐区间”．………………6分
（2）设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增．
若是已知函数的“和谐区间”，则……………10分
故、是方程，即的同号的相异实数根．
，，同号，只须，即或时，已知函数有“和谐区间”，，
当时，取最大值………………14分
（3）如：和谐区间为、，当的区间；
和谐区间为；
和谐区间为；…………
……………………………………18分
阅卷时，除考虑值域外，请特别注意函数在该区间上是否单调，不单调不给分．如举及形如的函数不给分．
科目：高中数学 来源： 题型：
（本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
若数列
满足：
是常数），则称数列为二阶线性递推数列，且定义方程
为数列的特征方程，方程的根称为特征根； 数列的通项公式
均可用特征根求得：
①若方程有两相异实根
，则数列通项可以写成
，（其中
是待定常数）；
②若方程有两相同实根
，则数列通项可以写成
，（其中是待定常数）；
再利用
可求得
，进而求得．
根据上述结论求下列问题：
（1）当
，
（
）时，求数列的通项公式；
（2）当
，
（）时，求数列的通项公式；
（3）当
，
（）时，记
，若
能被数
整除，求所有满足条件的正整数
的取值集合．
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科目：高中数学 来源：2011届上海市卢湾区高三上学期期末数学理卷 题型：解答题
（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
已知负数
和正数
，且对任意的正整数n，当
≥0时, 有[
, 
]=
[
, ]；当<0时, 有[, ]= [, 
]．
（1）求证数列{
}是等比数列；
（2）若
，求证
；
（3）是否存在
，使得数列
为常数数列？请说明理由
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科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省济宁市高三第二次月考文科数学 题型：解答题
（本题满分18分）已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点
到其准线的距离等于5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程;
（Ⅱ）如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆
交于A、C、D、B四点,试证明
为定值;
（Ⅲ）过A、B分别作抛物C的切线
且交于点M,求
与
面积之和的最小值．
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科目：高中数学 来源：2011-2012学年上海市青浦区高三上学期期终学习质量调研测试数学试卷 题型：解答题
(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
设
，对于项数为
的有穷数列
，令
为
中最大值，称数列
为的“创新数列”．例如数列
3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．
考查自然数
的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列
．
（1）若
，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；
（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源：上海市普陀区2010届高三第二次模拟考试数学文 题型：解答题
（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）
已知数列
的首项为1，前
项和为
，且满足
，
．数列
满足
.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 当
时，试比较
与
的大小，并说明理由；
（3） 试判断：当时，向量
是否可能恰为直线
的方向向量？请说明你的理由.
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