Question

（理）已知椭圆

x2

a2

+y2=1(a＞1)，直线l过点A（-a，0）和点B（a，ta）（t＞0）交椭圆于M．直线MO交椭圆于N．
（1）用a，t表示△AMN的面积S；
（2）若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）易得l的方程为y=

t

2

(x+a)，由

y= t 2 (x+a) x2 a2 +y2=1

，得（a²t²+4）y²-4aty=0，由此能够用用a，t表示△AMN的面积．
（2）由（1）得，S=

4a2t

4+a2t2

=

4a2

4 t +a2t

(t＞0)，令V=

4

t

+a2t，V′=-

4

t2

+a2    由V′=0⇒t=

2

a

．由此能够求出S的最大值．

解答：解：（理）（1）∵直线l过点A（-a，0）和点B（a，ta），
∴l的方程为y=

t

2

(x+a)，
由

y= t 2 (x+a) x2 a2 +y2=1

，
得（a²t²+4）y²-4aty=0
解得y=0或y=

4at

a2t2+4

即点M的纵坐标yM=

4at

a2t2+4

S=S_△AMN=2S_△AOM=|OA|•y_M=

4a2t

4+a2t2

（2）由（1）得，S=

4a2t

4+a2t2

=

4a2

4 t +a2t

(t＞0)
令V=

4

t

+a2t，V′=-

4

t2

+a2    
由V′=0⇒t=

2

a

当t＞

2

a

时，V′＞0；当0＜t＜

2

a

时，V′＜0
若1≤a≤2，
则

2

a

∈[1，2)，
故当t=

2

a

时，S_max=a
若a＞2，则0＜

2

a

＜1．
∵V=

4

t

+a2t在[1，2]上递增，进而S（t）为减函数．
∴当t=1时，Smax=

4a2

4+a2

综上可得Smax=

a(1≤a≤2) 4a2 4+a2 (a＞2)

．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查导数的性质和应用．综合性强，难度大，是高考的重点．具有一定的探索性，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．