Question

已知数列a₁，a₂，…a₃₀，其中a₁，a₂，…a₁₀是首项为1，公差为1的等差数列；a₁₀，a₁₁，…a₂₀是公差为d的等差数列；a₂₀，a₂₁，…a₃₀是公差为d²的等差数列（d≠0）．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）试写出a₃₀关于d的关系式，并求a₃₀的取值范围；
（3）续写已知数列，使得a₃₀，a₃₁，…a₄₀是公差为d³的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．试写出a_10（n+1）关于d的关系式，并求当公差d＞0时a_10（n+1）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由a₁₀=10及a₂₀=10+10d=40可求公差 d
（2）由已知可得a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）（d≠0）=10[(d+

1

2

)2+

3

4

]，根据二次函数的性质可求
（3）所给数列可推广为无穷数列{a_n}，其中a₁，a₂…a₁₀是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a_10n，a_10n+1，…a_10（n+1）是公差为dⁿ的等差数列，从而由a₄₀=a₃₀+10d³=10（1+d²+d³），
依此类推可得a_10（n+1）=10（1+d+…+dⁿ）=

10× 1-dn+1 1-d ，d≠1 10(n+1)     ，d=1

进而可求d＞0时，a_10（n+1）的取值范围

解答：解：（1）∵a₁₀=10，a₂₀=10+10d=40
∴d=3．（2分）
（2）a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）（d≠0），（4分）
=10[(d+

1

2

)2+

3

4

]，（6分）
当d∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，a₃₀∈[7.5，+∞）．（8分）
（3）所给数列可推广为无穷数列{a_n}，其中a₁，a₂…a₁₀是首项为1，
公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a_10n，a_10n+1，…a_10（n+1）是公差为dⁿ的等差数列．（10分）
由a₄₀=a₃₀+10d³=10（1+d+d²+d³），
依此类推可得a_10（n+1）=10（1+d+…+dⁿ）=

10× 1-dn+1 1-d ，d≠1 10(n+1)     ，d=1

（12分）
当d＞0时，a_10（n+1）的取值范围为（10，+∞）．（13分）

点评：本题主要考查了等差数列性质a_n=a_m+（n-m）d的应用，解决本题（3）的关键是要能由已知条件的规律，利用类别推理．