Question

设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：
①若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心
②若∠ABC=90°，H是斜边AC上的中点，则PA=PB=PC
③若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心
④若P到△ABC的三边的距离相等，则H为△ABC的内心
其中正确命题的是（　　）

A．①③④

B．②③④

C．①②③

D．①②③④

Answer 1

分析：根据三角形垂心，外心，内心的定义及棱锥的几何特征，结合勾股定理，逐一判断题目中四个命题的真假，可得答案．

解答：解：∵三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，
当PA，PB，PC两两互相垂直时，则PA⊥平面PBC，则PA⊥BC，
又由PH⊥底面ABC，则PH⊥BC，进而BC⊥平面PAH，即AH⊥BC，
同理可证BH⊥AC，CH⊥AB，故H是△ABC的垂心，即①正确；
若∠ABC=90°，H是斜边AC上的中点，则HA=HB=HC，由勾股定理易得PA=PB=PC，故②正确；
若PA=PB=PC，由勾股定理易得HA=HB=HC，故③H是△ABC的外心正确；
如图P是△ABC所在平面外一点，若P到△ABC三边的距离相等，E，F，D分别是点P在三个边上的垂足，故可证得HE，HF，HD分别垂直于三边且相等，由内切圆的加心的定义知，此时点H是三角形的内心，故④正确
故选D

点评：本题考查的知识点是三角形的五心，其中根据已知条件及棱锥的几何特征，得到H点的几何特征是解答的关键．