试题分析:(1)连结BD交AC于O,取PF中点G,连结OF,BG,EG,利用EO,EG分别为BG,FC的中位线,得到它们对应平行,进而得到平面BEG与平面ACF平行,再由面面平行的性质得到线面平行.
(2)要求线面角,需要先找到线面角的代表角,即过C点做面PAD的垂线,因为PA垂直于底面,所以过C作线段AD的垂线与AD交于H,则CH垂直于面PAD,所以角CPH即为线面角的代表角,要求该角的正弦值,就需要求出PC与CH,可以利用△PAC和△ACH为直角三角形通过勾股定理求出,进而得到线面角的正弦值.
解:(1)证明1:连接BD交AC于点O,取
中点
,连接
、
、
.
因为
、
分别是
、
的中点, 所以
,
又
,所以
2分
因为
、
分别是
、
的中点,
所以
,同理可得
4分
又
所以,平面
平面
.
又因为
平面
,故
平面
. 6分
证明2:作AH垂直BC交BC于H
建立如图的空间直角坐标系O-XYZ,
令AD=PA=2,则AB=1
所以
为
中点,
所以
2分
设面AFC的一个法向量
,又
由
,
所以
令
4分
所以
所以
故
平面
. 6分
(2)解1:因为
,
,所以
.
过C作AD的垂线,垂足为H,则
,
,所以
平面PAD.
故
为PC与平面PAD所成的角. 9分
设
,则
,
,
,
所以
,即为所求. 12分
解2:作AH垂直BC交BC于H,建立如图的空间直角坐标系O-XYZ,
令AD=PA=2,则AB=1,
所以
8分
因为
,所以面PCD的一个法向量为
10分
令PC与平面PAD所成的角为
,则
故PC与平面PAD所成角的正弦值为
. 12分.