Question

（2012•江西模拟）已知数列{

a

n

}有a₁=a，a₂=p（常数p＞0），对任意的正整数n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，并有S_n满足Sn=

n(an-a1)

2

．
（Ⅰ）求a的值并证明数列{

a

n

}为等差数列；
（Ⅱ）令pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，是否存在正整数M，使不等式p₁+p₂+…+p_n-2n≤M恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）n=1代入数列递推式，可得a的值；由a₁=0得Sn=

nan

2

，则Sn+1=

(n+1)an+1

2

，两式相减，并整理，可得（n-1）a_n+1=na_n，再写一式na_n+2=（n+1）a_n+1，两式相减，可得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，从而可得结论；
（Ⅱ）先表示出P_n，再利用裂项法求和，即可求得最小的正整数．

解答：解：（Ⅰ）由已知，得S1=

1•(a-a)

2

=a1=a，∴a=0…．（2分）
由a₁=0得Sn=

nan

2

，则Sn+1=

(n+1)an+1

2

，
∴2（S_n+1-S_n）=（n+1）a_n+1-na_n，即2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，
于是有（n-1）a_n+1=na_n，并且na_n+2=（n+1）a_n+1，
∴na_n+2-（n-1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，即n（a_n+2-a_n+1）=n（a_n+1-a_n）
则有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴{a_n}为等差数列；…．（7分）
（Ⅱ）∵Sn=

n(n-1)p

2

，∴Pn=

(n+2)(n+1)p 2

(n+1)np 2

+

(n+1)np 2

(n+2)(n+1)p 2

=2+

2

n

-

2

n+2

∴P1+P2+P3+…+Pn-2n=(2+

2

1

-

2

3

)+(2+

2

2

-

2

4

)+…+(2+

2

n

-

2

n+2

)-2n=2+1-

2

n+1

-

2

n+2

；由n是整数可得P₁+P₂+P₃+…+P_n-2n＜3，
故存在最小的正整数M=3，使不等式P₁+P₂+P₃+…+P_n-2n≤M恒成立…．（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查裂项法求数列的和，正确运用数列递推式是关键．