Question

为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．
（Ⅰ）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；
（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由频率分布直方图的性质可（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解方程即可得到a的值；再根据样本容量=频数÷频率，求出参加“掷实心球”项目测试的人数；
（2）根据题意，成绩在最后两组的为优秀，其频率为0.15+0.05，由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数，根据样本估计总体的原则得出估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（3）由频率计算公式得样本中第一组共有2人，得第二组共有6人．用组合数的方法计算出基本事件的总数共有28个，而抽取的2名学生来自不同组构成的基本事件有12个．由此结合古典概型计算公式即可算出所求概率．
解答：解：（Ⅰ）由题意可知（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解得a=0.05．
所以此次测试总人数为．
答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人．      …（4分）
（Ⅱ）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为（0.15+0.05）×2=0.4，
则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4．                             …（7分）
（Ⅲ）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．
由已知，测试成绩在[2，4）有2人，记为a，b；在[4，6）有6人，记为c，d，e，f，g，h．
从这8人中随机抽取2人有C共28种情况．
事件A包括2×6共12种情况．
所以事件A的概率P==．
答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率为．     …（13分）
点评：本题给出频率分布直方图，求样本中成绩优秀的人数，并求一个随机事件的概率．着重考查了频率分布的计算公式和古典概型计算公式等知识，属于基础题．