Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P（x₀，y₀）（x₀≠0）的切线方程为y-y₀=2ax₀（x-x₀）（a为常数）．
（I）求抛物线方程；
（II）斜率为k₁的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为k₂的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0，λ≠-1），若

BM

=λ

MA

，求证线段PM的中点在y轴上；
（III）在（II）的条件下，当λ=1，k₁＜0时，若P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设出抛物线的标准方程，利用过点P的切线方程求得p，则椭圆的方程可得．
（II）把直线PA的方程与抛物线的方程联立消去y，分别表示出x_A和x_B，根据k₂+λk₁=0和

BM

=λ

MA

，求得x_M=-x₀．进而推断出线段PM的中点在y轴上．
（III）利用λ的值和P的坐标求得a，进而表示出A，B的坐标，求得

AP

和

AB

的表达式，根据∠PAB为钝角，且P，A，B不共线，判断出

AP

•

AB

＜0．求得关于k₁的不等式，求得k₁的范围，进而求得点A的纵坐标范围，最后∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围．

解答：解：（I）由题意可设抛物线的方程为x²=-2py（p＞0），
由过点p（x₀，y₀）（x₀≠0）的切线方程为y-y₀=2ax₀（x-x₀），得
∴y′|x=x0=-

x0

p

=2ax0，
因此p=-

1

2a

．
∴抛物线的方程为y=ax²（a＜0）．
（II）直线PA的方程为y-y₀=k₁（x-x₀），

y=ax2 y-y0=k1(x-x0).

'
∴ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，∴xA+x0=

k1

a

，xA=

k1

a

-x0．
同理，可得xB=

k2

a

-x0．
∵k₂+λk₁=0，∴k₂=-λk₁，xB=-

λk1

a

-x0．
又

BM

=λ

MA

(λ≠0，λ≠-1)，
∴x_M-x_B=λ（x_A-x_M），xM=

λxA+xB

1+λ

=-x0．
∴线段PM的中点在y轴上．
（III）由λ=1，P（1，-1），可知a=-1．
∴A（-k₁-1，-（k₁+1）²），B（k₁-1，-（k₁-1）²）．
∴

AP

=(2+k1，

k

2 1

+2k1)，

AB

=(2k1，4k1)．
∵∠PAB为钝角，且P，A，B不共线，
∴

AP

•

AB

＜0．
即（2+k₁）•2k₁+（k₁²+2k₁）•4k₁＜0．
∴k₁（2k₁²+5k₁+2）＜0．
∵k₁＜0，
∴2k₁²+5k₁+2＞0．
∴k1＜-2，  或-

1

2

＜k1＜0．
又∵点A的纵坐标y_A=-（k₁+1）²，
∴当k₁＜-2时，y_A＜-1；
当-

1

2

＜k₁＜0时，-1＜y_A＜-

1

4

．
∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为(-∞，-1)∪(-1，-

1

4

)．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解这种类型的题要充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．