Question

已知△ABC中，，且外接圆半径R=1．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵已知△ABC中，，∴，
即 ，即 ．
再由△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC 可得，tanA+tanB= （tanA•tanB-1），
∴tan（A+B）==-=-tanC，∴tanC=，C=．
（2）由于△ABC外接圆半径R=1，由正弦定理可得 c=2r•sinC=．由于三角形任意两边之和大于第三边，∴a+c＞c=，
故△ABC周长大于2．
再由a＜2r=2，且 b＜2r=2，可得 a+b＜4，
故△ABC周长的取值范围为（2，4+）．
分析：（1）由已知条件利用两角和差的正切公式求得△ABCtan（A+B）==-，再由诱导公式、三角形内角和公式求得tanC=，从而求得C 的值．
（2）由于△ABC外接圆半径R=1，由正弦定理可得 c的值．再由三角形任意两边之和大于第三边由a＜2r=2，且 b＜2r=2，求得△ABC周长的取值范围．
点评：本题主要考查两角和差的正切公式，诱导公式以及正弦定理的应用，属于中档题．