Question

某船在海面A处测得灯塔C与A相距10

3

海里，且在北偏东30°的方向；测得灯塔B与A相距15

6

海里，且在北偏西75°的方向，船往正北方向航行到D处，再看灯塔B在南偏西60°的方向，问灯塔C与D相距多少海里？

Answer 1

分析：先画出草图，根据条件得到∠DBA=180°-∠BAD-∠BDA=45°，在三角形DBA中利用正弦定理求得DA的长，然后在三角形ADC中用余弦定理即可求出灯塔C与D相距多少海里．

解答：解：∠BAD=75°，∠ADB=60°，∠DAC=30°，AB=15

6

，AC=10

3

．
∴∠DBA=180°-∠BAD-∠BDA=45°，
∴

AD

sin∠DBA

=

AB

sin∠BDA

⇒AD=

AB

sin∠BDA

•sin∠DBA=30．
∴DC=

AD2+AC2-2AC•AD•cos∠DAC

=

302+(10 3 )2-2×30×10 3 × 3 2

=10

3

．
所以灯塔C与D相距：10

3

海里

点评：本题主要考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用．解决此类问题的关键在于把文字语言转化为数学符号以及数学语言，用数学知识解题．