Question

1．据报道，我国森林覆盖率逐年提高，现已达国土面积的14%，某林场去年底森林木材储存量为a立方米，若森林以每年25%的增长率生长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为x立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，问：每年砍伐的木材量x的最大值是多大？（取（$\frac{5}{4}$）²⁰≈87）

Answer 1

分析 通过设从今年起的每年年底木材储存量组成的数列为{a_n}，利用已知条件计算出数列前几项的值并归纳出a_n=$（\frac{5}{4}）^{n}$a+4[1-$（\frac{5}{4}）^{n}$]x，进而计算可得结论．

解答 解：设从今年起的每年年底木材储存量组成的数列为{a_n}，
则a₁=a（1+$\frac{25}{100}$）-x=$\frac{5}{4}$a-x，
a₂=a₁（1+$\frac{25}{100}$）-x=$（\frac{5}{4}）^{2}$a-（$\frac{5}{4}$+1）x，
a₃=a₂（1+$\frac{25}{100}$）-x=$（\frac{5}{4}）^{3}$a-[$（\frac{5}{4}）^{2}$+$\frac{5}{4}$+1]x，
以此类推可归纳出：a_n=a_n-1（1+$\frac{25}{100}$）-x
=$（\frac{5}{4}）^{n}$a-[$（{\frac{5}{4}）}^{n-1}$+…+$（\frac{5}{4}）^{3}$+$（\frac{5}{4}）^{2}$+$\frac{5}{4}$+1]x
=$（\frac{5}{4}）^{n}$a+4[1-$（\frac{5}{4}）^{n}$]x，
根据题意可知：$（{\frac{5}{4}）}^{20}$a-4[$（{\frac{5}{4}）}^{20}$-1]x=4a，
又∵（$\frac{5}{4}$）²⁰≈87，
∴87a-4（87-1）x=4a，
解得：x=$\frac{87a-4a}{4×86}$=$\frac{83}{344}$a，
即每年砍伐的木材量的最大值是去年储存量的$\frac{83}{344}$．

点评 本题是一道关于数列的应用题，考查运算求解能力、分析问题及解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．