Question

椭圆

x2

12

+

y2

3

=1的焦点分别为F₁和F₂，点P在椭圆上，如果线段PF₁的中点在y轴上，那么cos∠F₁PF₂=

 

．

Answer 1

分析：依题意，可求得a=2

3

，b=

3

，c=3，设P的坐标为（x，y），由线段PF₁的中点在y轴上，可求得P（3，±

3

2

），继而可求得|PF₁|与|PF₂|，利用余弦定理即可求得答案．

解答：解：∵椭圆的方程为：

x2

12

+

y2

3

=1，
∴a=2

3

，b=

3

，
∴c=

a2-b2

=3，
又其左、右焦点分别为F₁和F₂，
∴F₁为（-3，0），F₂为（3，0）．
设P的坐标为（x，y），线段PF₁的中点为（

x-3

2

，

y

2

），
∵线段PF₁的中点在y轴上，
∴

x-3

2

=0，解得x=3，
∴P（3，±

3

2

），
任取一个P为（3，

3

2

），
则|PF₁|=

[3-(-3)]2+( 3 2 )2

=

7 3

2

，|PF₂|=2a-

7 3

2

=4

3

-

7 3

2

=

3

2

；
由余弦定理得：cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

( 7 3 2 )2+( 3 2 )2-62

2× 7 3 2 × 3 2

=

1

7

．
故答案为：

1

7

．

点评：本题考查椭圆的简单性质，着重考查椭圆的标准方程与两点间的距离公式，突出余弦定理的应用，属于中档题．