Question

过点A （4，3）作直线L，如果它与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1只有一个公共点，则直线L的条数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：写出过点A（4，3）的直线L的方程，和双曲线方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0求出和双曲线相切的直线的斜率，然后由二次项系数等于0求出和双曲线有一个交点的直线的斜率，从而判断出直线L的条数．

解答：解：因为点A（4，3）在双曲线

x2

4

-

y2

3

=1的右支上，且不是右顶点，
所以要使过A（4，3）的直线与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1只有一个公共点，
则直线L的斜率存在且不等于0，设其斜率为k，
则L的方程为y-3=k（x-4），
联立

y-3=k(x-4) x2 4 - y2 3 =1

，得（3-4k²）x²+（32k²-24k）x-64k²+96k-48=0．
当3-4k²≠0时，
由△=（32k²-24k）²-4（3-4k²）（-64k²+96k-48）
=1024k⁴-1536k³+576k²+768k²-1152k+576-1024k⁴+1536k³-768k²
=576k²-1152k+576=0，得k=1．
所以过点A（4，3）与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1相切的直线一条；
当3-4k²=0，即k=±

3

2

时，过点A（4，3）与双曲线

x2

4

-

y2

3

=1相交于一点的直线有两条，它们是平行于双曲线渐近线的两条直线．
综上，直线L的条数是3．
故选C．

点评：本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了判别式法判断方程根的个数，是中档题．