Question

已知直线y=-4上有一动点Q，过点Q作垂直于x轴的直线l₁，动点P在直线l₁上，若点P满足OP⊥OQ（O为坐标原点 ），记点 P的轨迹为C
（1）求曲线C的方程
（2）过点A（-4，0）作直线l₂与曲线C交于M，N两点，若与y轴交于点R，且

1

|AM|

+

1

|AN|

=

3

|AR|

，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），可得Q（x，-4），根据垂直直线的斜率之积为-1，利用直线的斜率公式列式，化简即可得到曲线C的方程；
（2）设直线l₂方程为y=k（x+4），与抛物线消去x得

1

k2

y²-（

8

k

+4）y+16=0．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韦达定理得到y₁+y₂=4k²+8k，y₁y₂=16k²．然后将

1

|AM|

+

1

|AN|

=

3

|AR|

转化为关于y₁、y₂和k的等式，代入前面证出的关系式化简得到关于k的方程，解出k值即可得到直线l₂的方程．

解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，-4）．
∵OP⊥OQ，∴k_OP•k_OQ=-1．
当x≠0时，得

y

x

•

-4

x

=-1，化简得x²=4y．
当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．
综上所述，曲线C的方程为x²=4y（x≠0）；
（2）设直线l₂的方程为y=k（x+4），（k＞0）
由

y=k(x+4) x2=4y

消去x，得

1

k2

y²-（

8

k

+4）y+16=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=4k²+8k，y₁y₂=16k²．
设直线l₂的倾斜角为α，则|AM|=

y1

sinα

，|AN|=

y2

sinα

，|AR|=

|OR|

sinα

=

4k

sinα

∵

1

|AM|

+

1

|AN|

=

3

|AR|

，∴

1

y1 sinα

+

1

y2 sinα

=

3

4k sinα

，
化简得

y1+y2

y1y2

=

3

4k

，即

4k2+8k

16k2

=

3

4k

，解之得k=1，
因此，直线l₂的方程为y=x+4．

点评：本题给出动点满足的条件，求轨迹方程并求满足特殊条件的直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、抛物线的简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．