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已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,且f(-6)=-2,当x1,x2∈[0,3]且x1≠x2时,都有
f(x1)-f(x2)x1-x2
>0
,则给出下列命题:
①f(2010)=-2;
②函数y=f(x)图象的一条对称轴为直线x=-6;
③函数y=f(x)在[-9,-6]上为减函数;
④函数f(x)在[-9,9]上有4个零点,上述命题中的所有正确命题的序号是
 
.(把你认为正确命题的序号都填上)
分析:①对于条件:“x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立”,令x=-3,再结合函数为偶函数可得f(-3)=f(3)=0,代入已知条件可得函数的周期为6,从而得到f(2010)=-2;
②欲证“直线x=6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴”,即证f(6+x)=f(6-x);
③当x1,x2∈[0,3]且x1≠x2时,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0
,说明函数在区间上是增函数,再用周期性的奇偶性可得结论正确;
④由①的结论可知在区间[-9,9]上f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,再结合单调函数根的分布可得结论正确.
解答:解:对于①,先令x=-3,即有f(3)=f(-3)+f(3),f(-3)=0,
再依据函数y=f(x)是R上的偶函数,有f(-3)=f(3),得f(3)=0,
这样f(x+6)=f(x)+f(3)=f(x)函数f(x)的周期就是6,
因此f(2010)=f(335×6)=f(0)=f(-6)=-2;
对于②,∵f(x+6)=f(x)+f(3),
又∵f(-x+6)=f(-x)+f(3),且f(-x)=f(x)
∴f(6+x)=f(6-x)
∴直线x=6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,故②对;
对于③,首先根据:当x1,x2∈[0,3]且x1≠x2时,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0

说明函数在区间[0,3]上是增函数,再结合函数的周期为6,
将区间[0,3]右移6个单位,可得函数在[6,9]上为增函数
又∵函数为偶函数,在关于原点对称的区间上单调性相反
∴函数y=f(x)在[-9,-6]上为减函数,可得③正确;
对于④,根据①的结论,f(-3)=f(3)=0,再结合函数周期为6
得f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,
再根据在某个区间上的单调函数在这个区间内至多有一个零点,
得函数f(x)在[-9,9]上只有以上4个零点,所以④正确.
故答案为①②③④.
点评:抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的,它虽然没有具体的表达式,但是有一定的对应法则,满足一定的规律性.结合赋值法和准确把握对应法则及函数的相应的性质,是解决本题的关键.
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