Question

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形
（1）求证：BC∥平面C₁B₁N；
（2）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（3）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB₁，并求的值．

Answer 1

解：（1）证明：由正视图与侧视图可知侧面BCC₁B₁是矩形，所以BC∥_B1C1，又B₁C₁?平面C₁B₁N，BC?平面C₁B₁N，
所以BC∥平面C₁B₁N…（3分）
（2）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB₁两两垂直． …（5分）
以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB₁所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）
∵=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0
•=（4，4，0）•（0，0，4）=0
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁且NB₁与B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N； …（7分）
（3）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则=（-2，0，a），
∵MP∥平面CNB₁，
∴⊥?•=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0?a=1．
又PM?平面CNB₁，∴MP∥平面CNB₁，
∴当PB=1时，MP∥平面CNB₁
∴=…（12分）
分析：（1）利用几何体的三视图，判断侧面BCC₁B₁是矩形，利用直线与平面平行的判定定理证明BC∥平面C₁B₁N；
（2）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB₁两两垂直． 以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB₁所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，证出=0，•=0后即可证明BN⊥平面C₁B₁N；
（3）设P（0，0，a）为BC上一点，由MP∥平面CNB₁，得知⊥，利用向量数量积为0求出a的值，并求出 的值．
点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断，线面角求解，利用空间向量的方法，能够降低思维难度，但要注意有关的运算要准确．