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已知：F₁，F₂为 $数学公式$ 的左右焦点，点A为椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限）， $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）求此椭圆的方程．
（2）若P、Q是椭圆上的两点，并且满足 $数学公式$ ，求证：向量 $数学公式$ 与 $数学公式$ 共线．

（1）解：设|AC|=m，|BC|=2m
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴m²+4m²=10
∴ $\text{[math]}$
∵△COA是等腰直角三角形
∴a²=4，C（1，1）
代入 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$
（2）证明：设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，
由 $\text{[math]}$ 得（3k²+1）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
同理 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ ，所以PQ与AB平行，所以 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线．
分析：（1）设|AC|=m，|BC|=2m，根据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，计算|AC|，利用△COA是等腰直角三角形，可得a²=4，C（1，1）代入 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，从而可求椭圆的方程；
（2）设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，由 $\text{[math]}$ 得（3k²+1）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，从而可求PQ的斜率，利用 $\text{[math]}$ ，所以PQ与AB平行，所以 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线．
点评：本题以向量为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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