Question

（2006•朝阳区二模）设对于任意实数x、y，函数f（x）、g（x）满足f(x+1)=

1

3

f(x)，且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（5）=13，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{f（n）}、{g（n）}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=g[

n

2

f(n)]，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：取x=n，得f（n+1）=

1

3

f（n），取x=0，得f(1)=

1

3

f(0)=1，故数列{f（n）}为等比数列，取x=n，y=1，得g（n+1）-g（n）=2，故数列{g（n）}是等差数列，进而得到答案．
（Ⅱ）由题意可得：C_n=g[

n

2

f(n)]=g[

n

2

(

1

3

)n-1]=n(

1

3

)n-1+3，然后利用错位相减的方法求出数列的前n项和．

解答：解：（Ι）取 x=n，则f(n+1)=

1

3

f(n)，取x=0，得f(1)=

1

3

f(0)=1．
故{f（n）}是首项为1，公比为

1

3

的等比数列，∴f（n）=(

1

3

)n-1．
取x=n，y=1，得g（n+1）=g（n）+2 （n∈N^*），即g（n+1）-g（n）=2．
∴g（n）公差为2的等差数列．
又g（5）=13，
因此g（n）=13+2（n-5）=2n+3，即g（n）=2n+3．
（ΙΙ）c_n=g[

n

2

f(n)]=g[

n

2

(

1

3

)n-1]=n(

1

3

)n-1+3． 
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=1+2(

1

3

)+3(

1

3

)2+4(

1

3

)3+…+(n-1)(

1

3

)n-2+n(

1

3

)n-1+3n，
则

1

3

Sn=

1

3

+2(

1

3

)2+3(

1

3

)3+…+(n-1)(

1

3

)n-1+n(

1

3

)n+n，
两式相减得，

2

3

Sn=1+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1-n(

1

3

)n+2n=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

-n(

1

3

)n+2n=

3

2

[1-(

1

3

)n]-n(

1

3

)n+2n，
∴Sn=

9

4

[1-(

1

3

)n]-

3n

2

(

1

3

)n+3n=

9

4

-

3

4

(

1

3

)n-1-

n

2

(

1

3

)n-1+3n=

9

4

+3n-

2n+3

4

•(

1

3

)n-1．

点评：解决此类问题的关键是利用函数的赋值法求出数列的通项公式，掌握数列通项公式求出的方法以及求数列和的最值的方法，此题是数列与函数的综合题型属于难题．