Question

二次函数f（x）=px²+qx+r中实数p、q、r满足

p

m+2

+

q

m+1

+

r

m

=0，其中m＞0，求证：
（1）pf（

m

m+1

）＜0；
（2）方程f（x）=0在（0，1）内恒有解．

Answer 1

分析：（1）把x=

m

m+1

代入原函数，利用题设中p、q、r的关系进一步证明．
（2）先对p进行分类讨论，再对r进行分类讨论．

解答：证明：（1）pf（

m

m+1

）
=p[p（

m

m+1

）²+q（

m

m+1

）+r]
=pm[

pm

(m+1)2

+

q

m+1

+

r

m

]
=pm[

pm

(m+1)2

-

p

m+2

]
=p²m[

m(m+2)-(m+1)2

(m+1)2(m+2)

]
=p²m[-

1

(m+1)2(m+2)

]．
由于f（x）是二次函数，故p≠0．
又m＞0，所以pf（

m

m+1

）＜0．
（2）由题意，得f（0）=r，f（1）=p+q+r．
①当p＞0时，由（1）知f（

m

m+1

）＜0．
若r＞0，则f（0）＞0，又f（

m

m+1

）＜0，
∴f（x）=0在（0，

m

m+1

）内有解；
若r≤0，则f（1）=p+q+r=p+（m+1）（-

p

m+2

-

r

m

）+r=

p

m+2

-

r

m

＞0，
又f（

m

m+1

）＜0，
所以f（x）=0在（

m

m+1

，1）内有解．
因此方程f（x）=0在（0，1）内恒有解．
②当p＜0时，同样可以证得结论．

点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数p≠0，若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．
（2）对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的．本题的证明中，先对p分类，然后对r分类显然是比较好的．