Question

【题目】如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）.

【解析】

（1）推导出AF⊥DF，AF⊥FE，由线面垂直的判定定理即可证明AF⊥平面EFDC．

（2）过D作DG⊥EF，由DG⊥平面ABEF，以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，利用向量法求出平面BCE的法向量，则可求得直线BF与平面BCE所成角的正弦值．

（1）面ABEF为正方形

又，而,

面,面

面

（2），则由（1）知面平面，过作，垂足为，平面．

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．

由（1）知为二面角的平面角，故，又，则，，，，．

由已知，，平面．又平面平面，

故，．由，可得平面，

为二面角的平面角，．．

，，．

设是平面的法向量，则，即，

可取 .

则．

直线与平面BCE所成角的正弦值为 .