Question

【题目】已知定义在上的奇函数满足．且当时，．若对于任意，都有，则实数的取值范围为________．

Answer 1

【答案】

【解析】

f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，先得到[﹣1，3]一个周期内f（x）的图象，求出该周期内使f（x）≥1﹣log23成立的x的范围，从而推出的范围，再分t的范围讨论即可．

解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）＝0，得a＝1，

所以当0≤x≤1时，f（x）＝log2（x+1），

当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，此时f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1），

又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），

所以f（x）以x＝1为对称轴．且当x∈[﹣1，1]时f（x）单调递增，

当x∈[1，3]时f（x）单调递减．

当x∈[﹣1，3]时，令f（x）＝1﹣log23，得x，或x，

所以在[﹣1，3]内当f（x）＞1﹣log23时，x∈[，]．

设g（x），若对于x属于[0，1]都有，

因为g（0）∈[，]．

故g（x）∈[，]．

①当0时，g（x）在[0，1]上单调递减，

故g（x）∈[t，][，]．得t≥0，无解．

②0≤t≤1时，，此时g（t）最大，g（1）最小，

即g（x）∈[t﹣1，][，]．得t∈[0，1]．

③当1＜t≤2时，即，此时g（0）最小，g（t）最大，

即g（x）∈[，][，]．得t∈（1，2]，

④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，

故g（x）∈[，t][，]．解得，t∈（2，3]，

综上t∈[0，3]．

故填：[0，3]．