Question

（2012•朝阳区一模）已知函数f(x)=cos(x-

π

4

)．
（Ⅰ）若f(α)=

3

5

，其中

π

4

＜α＜

3π

4

，求sin(α-

π

4

)的值；
（II）设g(x)=f(x)•f(x+

π

2

)，求函数g（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的基本关系以及角的范围求出sin(α-

π

4

)的值．
（II）利用三角函数的恒等变换化简函数g（x）的解析式为

1

2

cos2x，由x∈[-

π

6

，

π

3

]求出

1

2

cos2x的最值．

解答：解：（Ⅰ）因为f(α)=cos(α-

π

4

)=

3

5

，且0＜α-

π

4

＜

π

2

，…（1分）
所以sin(α-

π

4

)=

4

5

..…（5分）．
（II）g(x)=f(x)•f(x+

π

2

)=cos(

π

4

-x)•cos(x+

π

4

)=sin(

π

4

+x)•cos(x+

π

4

)
=

1

2

sin(

π

2

+2x)=

1

2

cos2x..…．…..（10分）
当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x∈[-

π

3

，

2π

3

]．
则当x=0时，g（x）的最大值为

1

2

；当x=

π

3

时，g（x）的最小值为-

1

4

．…（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的基本关系，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．