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已知双曲线an-1y2-anx2=an-1an的一个焦点为(0,
cn
)(n≥2)
,且c1=6,一条渐近线方程为y=
2
x
,其中{an}是以4为首项的正数数列,记Tn=a1c1+a2c2+…+ancn(n∈N*).
(1)求数列{cn}的通项公式;
(2)数列{cn}的前n项和为Sn,求
lim
n→∞
S
2
n
Tn

(3)若不等式
1
c1
+
2
c2
+…+
n
cn
+
n
3•2n
1
3
+loga(2x+1)(a>0,a≠1)
对一切自然数n(n∈N*)恒成立,求实数x的取值范围.
分析:(1)由双曲线方程得:Cn=an+an+1,由一条渐进线方程为 y=
2
x
和an是以4为首项的正项数列得到an的通项公式化简,进而推出数列Cn的通项公式;
(2)分别计算Tn=a1c1+a2c2+…+ancn(n∈N*),Sn,再求
lim
n→∞
S
2
n
Tn

(3)先把Cn的通项公式代入到不等式左边,错位相减得 S=
2
3
-
1
3•2n-1
-
n
3•2n
,把S代入到不等式左边得到要使不等式对一切自然数n恒成立 ?
2
3
-
1
3•2n-1
2
3
+loga(2x+1)(n∈N)
,即要loga(2x+1)≥0,讨论a的取值得到x的范围.
解答:解:(1)由双曲线方程得:Cn=an+an+1,又因为一条渐近线 y=
2
x

an
an-1
=2
,∴an=4•2n+1=2n+1
∴Cn=3•2n
(2)Sn=6(2n-1),Tn=8(22n-1),∴
lim
n→∞
S
2
n
Tn
=
9
2

(3)令S=
1
c1
+
2
c2
+…+
n
cn
=
1
3•2
+
2
3•22
+…+
n
3•2n

由错位相减得 S=
2
3
-
1
3•2n-1
-
n
3•2n

故原不等式 ?
2
3
-
1
3•2n-1
2
3
+loga(2x+1)(n∈N)
恒成立
∴loga(2x+1)≥0
(i)当a>1时,2x+1≥1⇒x≥0
(ii)当 0<a<1时,
2x+1>0
2x+1≤1

-
1
2
<x≤0
点评:本题以双曲线为载体,考查考查学生灵活运用等比数列的通项公式,以及掌握双曲线的简单性质,理解不等式恒成立时取到的条件,掌握对数函数的图象与性质.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线an-1y2-anx2=an-1an的焦点在y轴上,一条渐近线方程为y=
2
x
,其中{an}是以4为首项的正数数列,则数列{an}的通项公式是(  )
A、an=2
n+3
2
B、an=21-n
C、an=4n-2
D、an=2n+1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线an-1y2-anx2=an-1an的一个焦点(0,
cn
)
,一条渐近线方程为y=
2
x
,其中an是以4为首项的正项数列,数列cn的首项为6.
(Ⅰ)求数列Cn的通项公式;
(Ⅱ)若不等式
1
c1
+
2
c2
+…+
n
cn
+
n
3•2n
2
3
+loga(2x+1)(a>0且a≠1)
对一切自然数n恒成立,求实数x的取值范围.

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已知双曲线an-1y2-anx2=an-1an的焦点在y轴上,一条渐近线方程为,其中{an}是以4为首项的正数数列,则数列{an}的通项公式是( )
A.
B.an=21-n
C.an=4n-2
D.an=2n+1

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已知双曲线an-1y2-anx2=an-1an的一个焦点为,且c1=6,一条渐近线方程为,其中{an}是以4为首项的正数数列,记Tn=a1c1+a2c2+…+ancn(n∈N*).
(1)求数列{cn}的通项公式;
(2)数列{cn}的前n项和为Sn,求
(3)若不等式对一切自然数n(n∈N*)恒成立,求实数x的取值范围.

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