Question

4．已知函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）设p：x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，q：|f（x）-m|＜3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先利用辅助角公式或二倍角的基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）根据p是q的充分条件，即p⇒q，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，：|f（x）-m|＜3恒成立，可得m的范围．

解答 解：函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1，x∈R．
化简得f（x）=$1-cos（\frac{π}{2}+2x）$-$\sqrt{3}cos2x-1$=$sin2x-\sqrt{3}cos2x$=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（1）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得：kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5}{12}$π，（k∈Z）；
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5}{12}$π]（k∈Z）；
（2）由p是q的充分条件，即p⇒q，
当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
2x$-\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴1≤f（x）≤2，
∵|f（x）-m|＜3，
∴-3＜f（x）-m＜3，
即-3+m＜f（x）＜3+m，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{-3+m＜1}\\{3+m＞2}\end{array}\right.$，
解得：-1＜m＜4
∴m的取值范围为（-1，4）．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．