Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}（x≥0）}\\{lo{g}_{3}（-x）（x＜0）}\end{array}\right.$，函数g（x）=f²（x）+f（x）+t（t∈R），若g（x）有两个零点，则实数t的取值范围是（-2，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 根据f（x）的解析式，画出其图象，令m=f（x），
当m≥1时，方程m=f（x）有两解，即每个m对应两个x，
当m＜1时，方程m=f（x）只有一解，即每个m只对应一个x，
再结合图形得出范围．

解答 解：根据f（x）的解析式，画出其图象，如右图：
令m=f（x），由图可知，
当m≥1时，方程m=f（x）有两解，即每个m对应两个x，
当m＜1时，方程m=f（x）有一解，即每个m对应一个x，
令g（x）=）=f²（x）+f（x）+t=得，m²+m+t=0---①，
（1）若关于m的一元二次方程①有两个相等的实根，
则△=0，解得t=$\frac{1}{4}$，m=-$\frac{1}{2}$，此时f（x）=m=-$\frac{1}{2}$有一解，
即g（x）只有一个零点，不合题意，舍去；
（2）若关于m的一元二次方程①有两个相异的实根，
则△＞0，解得t＜$\frac{1}{4}$，设方程①的两根为m₁，m₂，不妨设m₁＞m₂，
要使g（x）有两个零点，则m₁＜1，m₂＜1，
又m₁+m₂=-1，所以，m₁∈（-$\frac{1}{2}$，1），m₂∈（-2，-$\frac{1}{2}$），即m∈（-2，1），
所以，t=-m²-m=-（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$∈（-2，$\frac{1}{4}$），
故填：（-2，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题主要考查了函数零点的判定，复合函数性质的分析，以及运用数形结合思想解题，属于中档题．