Question

关于函数y=log₂（x²-2x+3）有以下4个结论：
①定义域为（-∞，-3]∪（1，+∞）；
②递增区间为[1，+∞）；
③最小值为1；
④图象恒在x轴的上方．
其中正确结论的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：对于结论①求函数y=log₂（x²-2x+3）的定义域只需要使x²-2x+3＞0解出即可验证．
对于结论②递增区间为[1，+∞），求复合函数的递增区间．可设t=x²-2x+3，又f（t）=log₂^t是关于t的增函数，故函数t=x²-2x+3的增区间即是y=log₂（x²-2x+3）的增区间．
对于结论③最小值为1，因为复合函数f（t）=log₂^t是关于t的增函数，则t取最小值时f（t）最小，求函数函数t=x²-2x+3的最小值代入即可．
对于结论④图象恒在x轴的上方，可判断函数最小值在x轴的上方即可．
解答：解：函数y=log₂（x²-2x+3），
对于结论①定义域为（-∞，-3]∪（1，+∞）．因为：x²-2x+3=（x-1）²+2恒大于0，所以定义域为R．所以结论①是错误的．
对于结论②递增区间为[1，+∞）；设t=x²-2x+3，在区间[1，+∞）上抛物线是增函数则t＞2．又对数函数在t＞2也为增函数，故增区间为[1，+∞），正确．
对于结论③最小值为1，因为复合对数函数f（t）=log₂^t是关于t的增函数，则t取最小值f（t）最小．对于函数t=x²-2x+3在x=1处取得最小值，即t=2．代入f（2）=log₂²=1，所以函数y=log₂（x²-2x+3）的最小值为1，即结论正确．
对于结论④图象恒在x轴的上方，因为结论③最小值为1正确，而最小值1在X轴上方，故结论正确．
故答案为②③④．
点评：此题主要考查对数函数的定义域值域单调区间的问题．其中涉及到复合函数的单调区间，最值的求法．有一定的技巧性，属于中档题目．