Question

①已知：a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根．②求证：

6

+

7

＞2

2

+

5

．

Answer 1

分析：①一方面，由ax=b，且a≠0，方程两边同除以a得方程ax=b有一个根x=

b

a

，另一方面，假设方程ax=b还有一个根x ₀且x ₀≠

b

a

，则由此不等式两边同乘以a得ax ₀≠b，得到与假设矛盾．最后综上所述，方程ax=b有且只有一个根．
②本小题利用分析法证明．只须从结论出发进行分析转化，即先进行两边平方，再进行化简即得．

解答：证明：①一方面，∵ax=b，且a≠0，
方程两边同除以a得：x=

b

a

，
∴方程ax=b有一个根x=

b

a

，
另一方面，假设方程ax=b还有一个根x ₀
且x ₀≠

b

a

，则由此不等式两边同乘以a得ax ₀≠b，
这与假设矛盾，故方程ax=b只有一个根．
综上所述，方程ax=b有且只有一个根．
②（分析法）
要证：

6

+

7

＞2

2

+

5

成立，…（3分）
即证：(

6

+

7

)2＞(2

2

+

5

)2…（5分）
只需证：13+2

42

＞13+2

40

即证：42＞40     …（8分）
∵42＞40显然成立，∴

6

+

7

＞2

2

+

5

．证毕． …（10分）

点评：本题考查综合法、分析法及反证法，分析法证明的关键是理解分析法的原理，掌握其证明的步骤，从结论出发，逐步寻求命题成立的条件．