Question

（2012•崇明县一模）已知函数f（x）=

x2+a

x+1

（a∈R）．
（1）用定义证明：当a=3时，函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（2）若函数y=f（x）在[1，2]上有最小值-1，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）当a=3时，f（x）=

x2+3

x+1

，任取 x₂＞x₁≥1，化简f（x₂）-f（x₁） 大于零，可得函数y=f（x）在[1，+∞）
上是增函数．
（2）根据题意得，f（x）=

x2+a

x+1

≥-1在[1，+∞）上恒成立，且等号能成立，故a≥-x²-x-1，求得a≥-3．当不等式中
等号成立时，a=-x²-x-1≤-3．综合可得实数a的值．

解答：解：（1）当a=3时，f（x）=

x2+3

x+1

．
任取 x₂＞x₁≥1，∵f（x₂）-f（x₁）=

x22+3

x2+1

-

x12+3

x1+1

=

(x2-x1)(x1+x 2+x 1x 2-3)

(x1+1)(x 2+1)

．
因为 x₂＞x₁≥1，所以 （x₁+1）＞0，（x₂+1）＞0，x₂-x₁＞0，x₁+x₂+x₁x₂-3＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，所以函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）根据题意得，f（x）=

x2+a

x+1

≥-1在[1，2]上恒成立，且等号能成立．
所以，a≥-x²-x-1=-(x+

1

2

)2-

3

4

．
由于函数 y=-x²-x-1在[1，2]上单调递减，所以，x=1时，-x²-x-1取得最大值为-3，∴a≥-3．
当等式

x2+a

x+1

≥-1，且1≤x≤2，等号成立时，二次函数a=-x²-x-1=-(x+

1

2

)2-

3

4

．
由于-(x+

1

2

)2-

3

4

≤-3，所以 a≤-3，
综上可得，a=-3．

点评：本题主要考查函数的判断和证明，函数单调性的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．