Question

（2009•杭州二模）如图，把正三角形ABC分成若干全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等．设点A为第一行，…，BC为第n行，
记点A上的数为a_1，1，…，第I行中第j个数为ai，j(1≤j≤i)．若a1，1=1，a2，1=

1

2

，a2，2=

1

4

则下列结论中正确的是

①④

（把正确结论的序号都填上）．
①a_1，1a_5，3=a_3，1a_3，3；
②a_3，1a_4，2a_5，3…a_n，n-2=a_3，3a_4，3a_5，3…a_n，3
③a2009，1+a2009，2+a2009，3+…a2009，2009=(

1

2

)2007-(

1

4

)2009
④a_i，i+a_i+1，i+a_i+2，i+…+a_n，i=2^n-i（a_n，i+a_n，i+1+a_n，i+2+…+a_n，n）

Answer 1

分析：根据任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等，从而求出所求．

解答：解：∵任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等，∴a_1，1a_5，3=a_3，1a_3，3，故①正确；对于②，由于左边的下标和与右边的下标和不相等，故错误；由a1，1=1，a2，1=

1

2

，a2，2=

1

4

，借助于定义可知：第2009行组成以

1

22008

为首项，

1

2

为公比的等比数列，所以a2009，1+a2009，2+a2009，3+…a2009，2009=

1 22008 (1- 1 22009 )

1- 1 2

=(

1

2

)2007-(

1

4

)2008，故③错误
④i=1时，a_1，1+a_2，1+…+a_n，1=

1- 1 2n

1- 1 2

=2-21-n，2^n-1（a_n，1+a_n，2+…+a_n，n）=2n-1

1 2n-1 (1- 1 2n )

1- 1 2

= 22-n(1-

1

2n

)=2-21-n ，故正确；
故答案为①④

点评：本题主要考查了数列的应用，解题的关键就是根据任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等建立等式，属于中档题．