Question

19．已知函数f（x）=$\sqrt{lo{g}_{\frac{1}{3}}（x-2）}$的定义域为A，函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x（x≥-2）的值域为B．
（1）求（∁_RA）∩B；
（2）若集合C={x|a≤x≤2a-2}且A∩C=C，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求解函数的定义域和值域化简集合A，B，求出（∁_RA，然后利用交集运算得答案；
（2）由A∩C=C，得C⊆A，然后转化为两集合端点值间的关系得答案．

解答 解：（1）由$lo{g}_{\frac{1}{3}}（x-2）≥0$，得0＜x-2≤1，即2＜x≤3，
∴A=（2，3]，则∁_RA=（-∞，2]∪（3，+∞）；
∵g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x（x≥-2），∴g（x）∈（0，4]，
∴B=（0，4]．
∴（∁_RA）∩B=（0，2]∪（3，4]；
（2）由A∩C=C，得C⊆A，
∵A=（2，3]，C={x|a≤x≤2a-2}，
∴a＞2a-2或$\left\{\begin{array}{l}{a≤2a-2}\\{a＞2}\\{2a-2≤3}\end{array}\right.$，∴a≤$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查函数的定义域及其值域的求法，考查了交、并、补集的混合运算，属基础题．