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    已知点E、F、G分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1、BC、AB的中点，
    （1）求直线EF和平面ABCD所成角的正切值；
    （2）求证：DG⊥EF；
    （3）在棱B1C1上求一点M，使得DG⊥平面EFM。

    （1）解：在正方体AC1中，
    ∵AA1⊥AD，AA1⊥AB，
    ∴AA1⊥平面ABCD，连结AF，
    则∠EFA就是EF与平面ABCD所成的角，
    设正方体棱长为a，
    ∵点F是BC的中点，
    ∴AF=，
    而AE=，
    则在Rt△EAF中，tan∠EAF=为所求。
    （2）证明：在正方形ABCD中，
    ∵G是AB的中点，F是BC的中点，
    ∴DG⊥AF，
    ∵EA⊥平面ABCD，由三垂线定理，
    ∴DG⊥EF；
    （3）解：当点M在棱B1C1的中点时，DG⊥平面EFM；
    证明如下：连结MF、EM，
    ∵F是BC的中点，
    ∴MF∥BB1，
    ∵BB1∥AA1，
    ∴MF∥AA1，
    ∵AA1⊥平面ABCD，
    ∴MF⊥平面ABCD，
    ∴MF⊥DG，
    ∵DG⊥EF，
    ∴DG⊥平面EFM。
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
    BE
    BC
    =
    CF
    CD
    =
    DG
    DA
    ，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网（理）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点．
    （1）求异面直线EG与BD所成角的大小；
    （2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为
    4
    5
    ？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由．
    （文）已知坐标平面内的一组基向量为
    e
    1    =(1，sinx)    ，
    e
    2    =(0，cosx)    ，其中x∈[0，
    π
    2
    )    ，且向量
    a
    =
    1
    2
    e
    1    +
    		3
    2
    e
    2    ．
    （1）当
    e
    1    和
    e
    2    都为单位向量时，求|
    a
    |    ；
    （2）若向量
    a
    和向量
    b
    =(1，2)    共线，求向量
    e
    1    和
    e
    2    的夹角．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
    BE
    BC
    =
    CF
    CD
    =
    DG
    DA
    ，P为GE与OF的交点，建立如图坐标系，求P点的轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源：陕西省师大附中2011－2012学年高一下学期期末考试数学试题 题型：047

    如图，已知点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：BH∥FG．

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