Question

15．已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（1）求实数a的值，并讨论f（x）的单调性；
（2）证明：对任意的正整数n，不等式2+$\frac{3}{4}$+$\frac{4}{9}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＞ln（n+1）都成立．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=ln（x+a）-x²-x，对其进行求导，在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，求得a值，从而求出函数的单调区间即可；
（2）法一：f（x）=ln（x+1）-x²-x的定义域为{x|x＞-1}，利用导数研究其单调性，可以推出ln（x+1）-x²-x≤0，令x=$\frac{1}{n}$，利用不等式进行放缩证明；
法二：根据数学归纳法证明；法三：根据定积分证明即可．

解答 解：（1）函数f（x）=ln（x+a）-x²-x，
f′（x）=$\frac{1}{x+a}$-2x-1，
当x=0时，f（x）取得极值，
∴f′（0）=0，解得a=1，经检验a=1符合题意，
∴f′（x）=$\frac{-x（2x+3）}{x+1}$，
当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，于是f（x）在（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，于是f（x）在（0，+∞）上单调递减．
（2）法一：由（1）得：f（0）是f（x）在（-1，+∞）上的最大值，
∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）-x²-x≤0，（当且仅当x=0时，“=”成立），
对任意正整数n，取x=$\frac{1}{n}$＞0得：ln（$\frac{1}{n}$+1）＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴ln（$\frac{n+1}{n}$）＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，
故2+$\frac{3}{4}$+$\frac{4}{9}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＞ln2+ln$\frac{3}{2}$+ln$\frac{4}{3}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$=ln（n+1）；
（方法二）数学归纳法证明：
当n=1时，左边=$\frac{1+1}{1^2}=2$，右边=ln（1+1）=ln2，显然2＞ln2，不等式成立．
假设n≥k（k∈N^*，k≥1）时，$2+\frac{3}{4}+\frac{4}{9}+$…$+\frac{k+1}{k^2}＞$ln（k+1）成立，
则n=k+1时，有$2+\frac{3}{4}+\frac{4}{9}+$…$+\frac{k+1}{k^2}+\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}＞\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}+ln（k+1）$；
作差比较：$ln（k+2）-ln（k+1）-\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}=ln\frac{k+2}{k+1}-\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}=ln（1+\frac{1}{k+1}）-（\frac{1}{k+1}+\frac{1}{{{{（k+1）}^2}}}$，
构建函数F（x）=ln（1+x）-x-x²（x∈（0，1）），
则$F'（x）=\frac{-x（2x+3）}{x+1}＜0$，∴F（x）在（0，1），
单调递减，∴F（x）＜F（0）=0，
取$x=\frac{1}{k+1}（k≥1，k∈{N^*}）$，$ln（1+\frac{1}{k+1}）-（\frac{1}{k+1}+\frac{1}{{{{（k+1）}^2}}}）＜F（0）=0$，
即$ln（k+2）-ln（k+1）-\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}=ln\frac{k+2}{k+1}-\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}＜0$，
亦即$\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}+ln（k+1）＞ln（k+2）$，
故n=k+1时，有$2+\frac{3}{4}+\frac{4}{9}+$…$+\frac{k+1}{k^2}+\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}＞\frac{k+2}{{{{（k+1）}^2}}}+ln（k+1）＞ln（k+2）$，
不等式成立，
综上可知，对任意的正整数n，不等式$2+\frac{3}{4}+\frac{4}{9}+$…$+\frac{n+1}{n^2}＞$ln（n+1）都成立；
方 法三   $2+\frac{3}{4}+\frac{4}{9}+…\frac{n+1}{n^2}＞\int_1^{n+1}{\frac{x+1}{x^2}}dx$
=$\int\begin{array}{l}n+1\\ 1\end{array}（\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}）dx=（lnx-\frac{1}{{3{x^3}}}）|_1^{n+1}$
=$ln（n+1）-ln1-\frac{1}{{3{{（n+1）}^3}}}+\frac{1}{3}$
=$ln（n+1）-\frac{1}{{3{{（n+1）}^3}}}+\frac{1}{3}$
＞ln（n+1）．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，第三问难度比较大，利用了前两问的结论进行证明，此题是一道中档题．