Question

如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，经平面AEFG所截后得到的图形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（1）求证：BD⊥平面ADG．
（2）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲证BD⊥平面ADG，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD⊥平面ADG内两相交直线垂直，而AD⊥BD，GD⊥BD，
GD∩AD=D，满足定理条件；
（2）以D为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OG为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，分别求出平面AEFG法向量和平面ABCD的一个法向量，然后求出两法向量的夹角的余弦值，即可求出平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

解答：解：（1）证明：在△BAD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，
由余弦定理得，BD=

3

∴AB²=AD²+BD²．
∴AD⊥BD（2分）
又GD⊥平面ABCD
∴GD⊥BD，
GD∩AD=D，
∴BD⊥平面ADG（4分）
（2）以D为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OG为z轴建立空间直角坐标系D-xyz
则有A（1，0，0），B（0，

3

，0），G（0，0，1），E（0，

3

，2）

AG

=(-1，0，1)，

AE

=(-1，

3

，2)（6分）
设平面AEFG法向量为m=（x，y，z）
则

m• AG =-x+z=0 m• AE =-x+ 3 y+2z=0

，
取m=(1，-

3

3

.1)（9分）
平面ABCD的一个法向量n=

DG

=(0，0，1)（10分）
设面ABFG与面ABCD所成锐二面角为θ，

则cosθ-

|m•n|

|m|•|n|

=

21

7

（12分）
∴平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为

21

7

．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量，二面角在最近高考中有所弱化，值得大家主要．