Question

7．如果双曲线过点（6，-2$\sqrt{2}$），它的两条渐近线方程x±2y=0，点A（a，0）（a＞0）到双曲线上的点的最近距离为d．
（1）求双曲线方程；
（2）求解析式d=f（a）．

Answer 1

分析 （1）设双曲线的方程为x²-4y²=λ，利用双曲线过点（6，-2$\sqrt{2}$），求出λ，即可求双曲线方程；
（2）首先对a进行讨论①0＜a≤2；②a＞2，进一步求出点到双曲线距离的最小值．

解答 解：（1）设双曲线的方程为x²-4y²=λ
∵双曲线过点（6，-2$\sqrt{2}$），
∴36-4×8=λ，
∴λ=4，
∴双曲线方程为$\frac{1}{4}$x²-y²=1；
（2）双曲线：$\frac{1}{4}$x²-y²=1，若a＞0，
①当0＜a≤2时，点M（a，0）到双曲线的距离的最小值f（a）=2-a．
②当a＞2时，点M（a，0）到双曲线的距离的最小值f（a）=a-2．

点评 本题考查的知识要点：双曲线的方程，分类讨论思想的应用，特殊位置的应用，属于中档题．