Question

如图平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD=2，M为边CD的中点，沿BM将△CBM折起使得平面BMC⊥平面ABMD．
（1）求四棱锥C-ADMB的体积；
（2）求折后直线AB与面AMC所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得△CMB是等边三角形，取MB的中点O，则CO⊥MB，又平面BMC⊥平面ABMD，CO=

3

2

，求出底面梯形的面积，再利用棱锥的体积公式解答；
（2）利用面面垂直的性质和判定，找到折后直线AB与面AMC所成的角的平面角，然后求正弦值．

解答： 解：（1）由已知∠DAB=60°，AB=2AD=2，M为边CD的中点，
所以△CMB是等边三角形，
取MB的中点O，则CO⊥MB，又平面BMC⊥平面ABMD，CO=

3

2

，
所以S梯形ABCM=

AB+CM

2

×CO=

3

2

×

3

2

=

3 3

4

，
所以V四棱锥C-ADMB=

1

3

•

3 3

4

•

3

2

=

3

8

；
（2）因为∠DAB=60°，AB=2AD=2，M为边CD的中点，
所以AM=2

3

，BM=2，
所以AM⊥BM，
又平面BMC⊥平面ABMD交线为BM，
所以AM⊥平面CMB，
所以平面AMC⊥平面BMC于MC，
由△CMB是等边三角形，取CM的中点E，连接BE，则BE⊥CM，
所以BE⊥平面AMC，连接EA，则∠BAE是直线AB与平面AMC所成的角，
所以sin∠BAE=

BE

AB

=

3

4

．

点评：本题考查了折叠的问题，将平面图折叠得到立体图形，求几何体的体积及空间角，属于中档题．