Question

已知a，b为正数，记L（a，b）=

a-b lna-lnb ，a≠b a，a=b

为“正数a，b的对数平均数”．
（1）求函数f（x）=L（x，1），x∈（1，+∞）的单调区间；
（2）a≥b＞0，比较a，b的“算术平均数”，“几何平均数”和“对数平均数”的大小关系．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据已知条件求得f（x）=

x-1

lnx

，求f′（x）=

lnx- x-1 x

(lnx)2

，所以要判断f′（x）的符号，只需判断lnx-

x-1

x

的符号．可令h（x）=lnx-

x-1

x

，h′（x）=

x-1

x2

＞0，所以便得到h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（1）=0，所以便得到f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上是增函数，而增区间便是（1，+∞）；
（2）a=b时，容易得到

a+b

2

=

ab

=L(a，b)，所以判断a＞b时的情况即可：根据基本不等式

a+b

2

＞

ab

，所以需判断

a+b

2

和L（a，b），

ab

和L（a，b）的大小关系，通过作差法进行比较.

a+b

2

-L(a，b)=

a+b

2

-

a-b

lna-lnb

=

a+b

2ln a b

[ln

a

b

-

2( a b -1)

a b +1

]，

a+b

2ln a b

＞0，所以只要判断ln

a

b

-

2( a b -1)

a b +1

的符号即可．所以可令

a

b

=u，u＞1，G（u）=lnu-

2(u-1)

u+1

，G′（u）=

(u-1)2

u(u+1)2

＞0，所以G（u）＞G（1）=0，所以便可得到

a+b

2

＞L(a，b)，而同样的办法去比较

ab

和L（a，b）的大小关系，最后便可得到这三个平均数的大小关系．

解答： 解：（1）根据已知条件，∵x∈（1，+∞），∴L（x，1）=

x-1

lnx

；
∴f（x）=

x-1

lnx

，f′（x）=

lnx- x-1 x

(lnx)2

；
设h（x）=lnx-

x-1

x

，h′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

；
∵x＞1，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数，所以h（x）＞h（1）=0，即f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数，（1，+∞）是f（x）的单调递增区间；
（2）a=b＞0时，

a+b

2

=

ab

=L(a，b)；
a＞b＞0时，

a+b

2

＞

ab

；

a+b

2

-L(a，b)=

a+b

2

-

a-b

lna-lnb

=

(a+b)ln a b -2(a-b)

2ln a b

=

a+b

2ln a b

[ln

a

b

-

2(a-b)

a+b

]=

a+b

2ln a b

[ln

a

b

-

2( a b -1)

a b +1

]，设

a

b

=u，u＞1，则：
G（u）=lnu-

2(u-1)

u+1

，G′（u）=

1

u

-

4

(u+1)2

=

(u-1)2

u(u+1)2

＞0；
∴函数G（u）在（1，+∞）上是增函数，∴G（u）＞G（1）=0，即ln

a

b

-

2( a b -1)

a b +1

＞0；
又

a

b

＞1，

a+b

ln a b

＞0，∴

a+b

2

＞L(a，b)；

ab

-L(a，b)=

ab

-

a-b

lna-lnb

=

ab

ln a b

(ln

a

b

-

a-b

ab

)=

ab

ln a b

(ln

a

b

-

a b -1

a b

)，设

a b

=u，

a

b

=u2，（u＞1）则：
H（u）=lnu²-

u2-1

u

=2lnu-u+

1

u

，H′（u）=

2

u

-1-

1

u2

=

-(u-1)2

u2

＜0；
∴函数H（u）在（1，+∞）上单调递减，∵H（u）＜H（1）=0，即ln

a

b

-

a b -1

a b

＜0；
又

ab

ln a b

＞0，∴

ab

＜L(a，b)；
∴综上得a，b的“算术平均数”，“几何平均数”和“对数平均数”的大小关系为：

a+b

2

≥L(a，b)≥

ab

，当a=b时取“=”．

点评：考查通过判断导数符号来判断函数单调性的方法，以及对于g（x）=f′（x）的情况，根据函数g（x）的单调性来判断导数f′（x）符号的方法，以及通过构造函数来判断一个式子的符号的方法．