Question

若0＜a＜1，函数f(x)=loga

x-3

x+3

，g(x)=1+loga(x-1)，设f（x），g（x）的定义域的公共部分为D，当[m，n]⊆D（m＜n）时，f（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g（m）]，求a的取值范围．

Answer 1

分析：先分别求函数f（x）和g（x）的定义域，并求其交集D，再利用复合函数的单调性判断函数f（x）为D上的减函数，从而函数f（x）在[m，n]上的值域是[f（n），f（m）]，从而将问题转化为方程组

f(m)=g(m) f(n)=g(n)

有解，即ax²+（2a-1）x-3a+3=0的两根均大于3，最后利用二次函数的图象和性质列不等式即可解得a的范围

解答：解：由

x-3

x+3

＞0，得x＞3或x＜-3，∴函数f（x）的定义域为A=（-∞，-3）∪（3，+∞），
由x-1＞0，得x＞1，∴函数g（x）的定义域为B=（1，+∞），
∴D=A∩B=（3，+∞）
∵f(x)=loga

x-3

x+3

=loga(1-

6

x+3

)在区间D上为减函数，（因为内层函数为增函数，外层函数为减函数）
∴

f(m)=g(m) f(n)=g(n)

即f（x）=g（x）有两个大于3的不等根m，n
即loga

x-3

x+3

=1+loga(x-1)有两个大于3的不等根m，n
即

x-3

x+3

=a(x-1)有两个大于3的不等根m，n
即ax²+（2a-1）x-3a+3=0的两根均大于3
设h（x）=ax²+（2a-1）x-3a+3
则

0＜a＜1 △=(2a-1)2-4a(3-3a)＞0 h(3)=9a+3(2a-1)-3a+3＞0 - 2a-1 2a ＞3

解得a∈（0，

2- 3

4

）

点评：本题主要考查了对数型复合函数的定义域和单调性的判断方法，二次方程根的分布问题的解法，函数与方程的思想，转化化归的思想方法，