Question

【题目】已知圆经过，，三点．

(1)求圆的标准方程；

(2)若过点N 的直线被圆截得的弦AB的长为，求直线的倾斜角．

Answer 1

【答案】(1) (2) 30°或90°．

【解析】

（1）解法一：将圆的方程设为一般式，将题干三个点代入圆的方程，解出相应的参数值，即可得出圆的一般方程，再化为标准方程；

解法二：求出线段和的中垂线方程，将两中垂线方程联立求出交点坐标，即为圆心坐标，然后计算为圆的半径，即可写出圆的标准方程；

（2）先利用勾股定理计算出圆心到直线的距离为，并对直线的斜率是否存在进行分类讨论：一是直线的斜率不存在，得出直线的方程为，验算圆心到该直线的距离为；

二是当直线的斜率存在时，设直线的方程为，并表示为一般式，利用圆心到直线的距离为得出关于的方程，求出的值。结合前面两种情况求出直线的倾斜角。

（1）解法一：设圆的方程为，

则 ∴

即圆为，

∴圆的标准方程为；

解法二：则中垂线为,中垂线为，

∴圆心满足∴，

半径，

∴圆的标准方程为．

（2）①当斜率不存在时，即直线到圆心的距离为1，也满足题意，

此时直线的倾斜角为90°，

②当斜率存在时，设直线的方程为，

由弦长为4，可得圆心 到直线的距离为，

，

∴，此时直线的倾斜角为30°，

综上所述，直线的倾斜角为30°或90°．