Question

【题目】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．

(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；

(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

Answer 1

【答案】（1）V(r)＝ (300r－4r3)．定义域为 （2）单调性见解析，r＝5，h＝8蓄水池的体积最大

【解析】试题分析：（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.

（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元

∴蓄水池的总建造成本为元

所以即

∴

∴

又由可得

故函数的定义域为6分

（2）由（1）中，

可得（）

令，则

∴当时， ，函数为增函数

当，函数为减函数

所以当时该蓄水池的体积最大 12分.