Question

【题目】已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆的短轴顶点，且.

（1）求椭圆的方程

（2）过作直线交椭圆于两点，求的面积的最大值

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】

试题分析：（1）由离心率为及可得，解出的值，即可得出椭圆的方程；（2）由（1）可知，设直线的方程为为，与椭圆方程联立化为，，设，利用根与系数的关系可得，利用，及基本不等式的性质即可得出结果.

试题解析：（1）∵的离心率为

∴ 又，且

∴

∴椭圆的标准方程是.

（2） 由（1）可知，设直线的方程为

联立

设

∴，

∴

∴

当且仅当即时，

的面积取得最大值.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.