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(本小题满分14分)
在数列中,,其中
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和
(Ⅲ)证明存在,使得对任意均成立.
(Ⅰ)
(Ⅱ)当时,①式减去②式,数列的前项和
时,.这时数列的前项和
(Ⅲ)存在,使得对任意均成立。
(Ⅰ)解法一:


由此可猜想出数列的通项公式为
以下用数学归纳法证明.
(1)当时,,等式成立.
(2)假设当时等式成立,即
那么

这就是说,当时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式对任何都成立.
解法二:由
可得
所以为等差数列,其公差为1,首项为0,故,所以数列的通项公式为
(Ⅱ)解:设,   ①
        ②
时,①式减去②式,


这时数列的前项和
时,.这时数列的前项和
(Ⅲ)证明:通过分析,推测数列的第一项最大,下面证明:
.    ③
,要使③式成立,只要
因为


所以③式成立.
因此,存在,使得对任意均成立.
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