Question

已知函数f（x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x³．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）证明 f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式可得 2^x-1≠0，解得x≠0，由此求得函数的定义域．
（2）显然函数的定义域关于原点对称，再根据f（-x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．
（3）当x＞0时，

1

2x-1

+

1

2

＞

1

2

，x³＞0，可得函数f（x）＞0．当x＜0时，同理证的函数f（x）＞0．
综上可得f（x）＞0 成立．

解答：解：（1）由函数的解析式可得 2^x-1≠0，解得x≠0，故函数的定义域为 {x|x∈R，且 x≠0}．
（2）显然函数的定义域关于原点对称，f（-x）=（

1

2-x-1

+

1

2

）（-x）³=（

2x

1-2x

+

1

2

）（-x）³ 
=（

2x-1+1

1-2x

+

1

2

）（-x）³
=（-1+

1

1-2x

+

1

2

）（-x）³=-（

1

2x-1

+

1

2

）（-x）³=（

1

2x-1

+

1

2

）x³ =f（x），
故函数f（x）为偶函数．
（3）当x＞0时，

1

2x-1

+

1

2

＞

1

2

，x³＞0，∴函数f（x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x³ ＞0．
当x＜0时，

1

2x-1

＜-1，

1

2x-1

+

1

2

＜0，x³＜0，∴函数f（x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x³ ＞0．
综上可得，f（x）＞0．

点评：本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的判断方法，不等式的性质应用，属于中档题．