Question

（2009•湖北模拟）椭圆的中心为原点O，焦点在y轴上，离心率e=

6

3

，过P（0，1）的直线l与椭圆交于A、B两点，且

AP

=2

PB

，求△AOB面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程．

Answer 1

分析：设椭圆的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，直线l的方程为y=kx+1，由e=

6

3

，知c2=

2

3

a2，b2=

1

3

a2，把椭圆方程化为3x²+y²=3b²，联立

3x2+y2=3b2 y=kx+1

，得（3+k²）x²+2kx+1-3b²=0．由此能求出△AOB面积的最大值为

3

2

和取得最大值时椭圆的方程．

解答：解：设椭圆的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
直线l的方程为y=kx+1（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵e=

6

3

，∴c2=

2

3

a2，b2=

1

3

a2，则椭圆方程可化为

y2

3b2

+

x2

b2

=1，即3x²+y²=3b²，
联立

3x2+y2=3b2 y=kx+1

，得（3+k²）x²+2kx+1-3b²=0 （*）
有x1+x2=-

2k

3+k2

，
而由已知

AP

=2

PB

，有x₁=-2x₂，代入得x2=

2k

3+k2

，
∵k≠0
∴S△AOB=

1

2

×|OP|×|x1-x2|
=

3

2

|x2|
=

3|k|

3+k2

=

3

3 |k| +k

≤

3|k|

2 3 |k|

=

3

2

，
当且仅当k=±

3

时取等号                                                    （8分）
由x2=

2k

3+k2

，得x2=±

3

3

，将

k= 3 x= 3 3

，

k=- 3 x=- 3 3

代入（*）式得b2=

5

3

，
所以△AOB面积的最大值为

3

2

，取得最大值时椭圆的方程为

y2

5

+

x2

5 3

=1．（13分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．