Question

4．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的图象在y轴上的截距为1，且它在右侧的第一个最大值点为（2，$\sqrt{2}$）．求函数的解析式．

Answer 1

分析 由题意可得A=$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$sin（2ω+φ）=$\sqrt{2}$，解得：sin（2ω+φ）=1，①由$\sqrt{2}$sinφ=1，解得φ=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，讨论由①解得ω=k$π±\frac{π}{8}$，k∈Z②，由T=$\frac{2π}{ω}$＞4，解得：0＜$ω＜\frac{π}{2}$或0＜ω＜π，从而解得ω，φ的值，即可求得解析式．

解答 解：∵在右侧的第一个最大值点为（2，$\sqrt{2}$）．
∴A=$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$sin（2ω+φ）=$\sqrt{2}$，解得：sin（2ω+φ）=1，①
∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的图象在y轴上的截距为1，
∴函数图象过（0，1），
∴$\sqrt{2}$sinφ=1，
∵0＜φ＜2π，
∴φ=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，
∴由①可得：sin（2ω+$\frac{π}{4}$）=1，或sin（2ω+$\frac{3π}{4}$）=1，解得：ω=k$π±\frac{π}{8}$，k∈Z②，
∵由题意可得：T=$\frac{2π}{ω}$＞2（2-0）=4，或$\frac{2π}{ω}$＞2，解得：0＜$ω＜\frac{π}{2}$，0＜ω＜π
∴由②解得：ω=$\frac{π}{8}$或$\frac{7π}{8}$，故φ=$\frac{π}{4}$，
∴函数的解析式为：y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）或y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{7π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，考查了分类讨论思想的应用，属于基本知识的考查．