Question

19．设f（x）=|2^x-1|，若关于x的函数g（x）=（1-t）f²（x）-f（x）+t有三个零点，则实数t的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）
• C． （$\frac{1}{2}，1$）
• D． [0，1）

Answer 1

分析 作出函数f（x）=|2^x-1|的图象，令g（x）=0，可得f（x）=1或f（x）=$\frac{t}{1-t}$，通过图象观察，可得0＜$\frac{t}{1-t}$＜1，解不等式可得t的范围．

解答 解：作出函数f（x）=|2^x-1|的图象，
由g（x）=（1-t）f²（x）-f（x）+t=0，
可得f（x）=1或f（x）=$\frac{t}{1-t}$，
由函数g（x）=（1-t）f²（x）-f（x）+t有三个零点，
结合图象可得0＜$\frac{t}{1-t}$＜1，
即为$\frac{t（2t-1）}{（1-t）^{2}}$＜0，解得0＜t＜$\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 本题考查绝对值函数的图象的画法和运用，考查函数的零点的判断，运用数形结合的思想方法是解题的关键．