Question

14．已知数列{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}是递增数列；
（2）若对一切大于1的正整数n，不等式a_n＞$\frac{1}{12}$log_a（a+1）+$\frac{2}{3}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得a_n+1，作差a_n+1-a_n，判断符号，即可得证；
（2）由题意可得（a_n）_min＞$\frac{1}{12}$log_a（a+1）+$\frac{2}{3}$，求得最小值，运用对数函数的单调性，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（1）证明：a_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$，
a_n+1=$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$，
即有a_n+1-a_n=$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$
=$\frac{1}{（2n+1）（2n+2）}$＞0，
即有数列{a_n}是递增数列；
（2）对一切大于1的正整数n，不等式a_n＞$\frac{1}{12}$log_a（a+1）+$\frac{2}{3}$恒成立，
由（1）可得{a_n}是递增数列，可得n＞1时，a₂取得最小，且为$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$，
即有$\frac{1}{12}$log_a（a+1）+$\frac{2}{3}$＜$\frac{7}{12}$，即为log_a（a²+a）＜0，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{{0＜a}^{2}+a＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{a}^{2}+a＞1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜a＜1．
即实数a的取值范围是（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）．

点评 本题考查数列的单调性和运用，考查数列不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题．