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    已知O为坐标原点，向量
    OA
    =（sinα，1），
    OB
    =（cosα，0），
    OC
    =（-sinα，2），点P满足
    AB
    =
    BP

    （1）记f（α）=
    BP
    •
    CA
    ，α∈（-
    π
    8
    ，
    π
    2
    ），求函数f（α）的值域；
    （2）若O，P，C三点共线，求|
    OA
    +
    OB
    |的值．
    分析：（1）设出P的坐标，由向量的坐标得到点的坐标，再由点的坐标求出所用向量的坐标，结合
    AB
    =
    BP
    求出P的坐标，代入f（α）=
    BP
    •
    CA
    化简，由α的范围可求函数f（α）的值域；
    （2）由O，P，C三点共线，由向量共线的充要条件求出tanα的值，结合|
    OA
    +
    OB
    |=
    		sin2α+2
    ，利用万能公式，代入即可求出|
    OA
    +
    OB
    |的值．
    解答：解：（1）设点P的坐标为（x，y），
    ∵
    OA
    =（sinα，1），
    OB
    =（cosα，0），
    OC
    =（-sinα，2），
    ∴A（sinα，1），B（cosα，0），C（-sinα，2），
    ∴
    AB
    =（cosα-sinα，-1），
    BP
    =（x-cosα，y），
    由
    AB
    =
    BP
    ，得cosα-sinα=x-cosα，y=-1．
    ∴x=2cosα-sinα，y=-1，
    ∴点P的坐标为（2cosα-sinα，-1），
    ∴
    BP
    =(cosα-sinα，-1)    ，
    CA
    =(2sinα，-1)    ．
    则f（α）=
    BP
    •
    CA

    =2sinαcosα-2sin2α+1
    =sin2α+cos2α
    =
    		2
    sin(2α+
    π
    4
    )    ．
    ∵α∈（-
    π
    8
    ，
    π
    2
    ），∴2α+
    π
    4
    ∈(0，
    5π
    4
    )    ，
    ∴f（α）∈（-1，
    		2
    ]；
    （2）∵O，P，C三点共线，
    ∴-1×（-sinα）=2×（2cosα-sinα），
    ∴tanα=
    4
    3
    ，
    ∴sin2α=
    2tanα
    1+tan2α
    =
    24
    25
    ，
    ∴|
    OA
    +
    OB
    |=
    		(sinα+cosα)2+1
    =
    		sin2α+2
    =
    		74
    5
    ．
    点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示，正弦型函数的单调性，两角和与差的正弦，二倍角的正弦，二倍角的余弦，三点共线，解题的关键是根据向量共线的充要条件求出tanα的值，是中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•黄冈模拟）已知O为坐标原点，向量
    OA
    =（sinα，1），
    OB
    =（cosα，0），
    OC
    =（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段
    AP
    的比为1．
    （1）记函数f（α）=
    PB
    •
    CA
    ，α∈（-
    π
    8
    ，
    π
    2
    ），讨论函数f（α）的单调性，并求其值域；
    （2）若O，P，C三点共线，求|
    OA
    +
    OB
    |的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知O为坐标原点，
    OA
    =(2sin2x，1)，
    OB
    =(1，-2
    		3
    sinxcosx+1)    ，f(x)=-
    1
    2
    OA
    •
    OB
    +1    ．
    （1）求y=f（x）的最小正周期；
    （2）将f（x）图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移
    π
    6
    个单位后，所得图象对应的函数为g（x），且α∈[
    π
    6
    ，  
    2π
    3
    ]，  β∈(-
    5π
    6
    ，-
    π
    3
    )    ，g(α)=
    3
    5
    ，  g(β)=-
    4
    5
    ，求cos2（α-β）-1的值．

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    科目：高中数学 来源：2012年四川省高考数学压轴卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    已知O为坐标原点，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段的比为1．
    （1）记函数f（α）=•，α∈（-，），讨论函数f（α）的单调性，并求其值域；
    （2）若O，P，C三点共线，求|+|的值．

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年湖北省“黄冈中学、黄石二中、华师一附中、荆州中学、孝感高中、襄樊四中、襄樊五中、鄂南高中”八校高三第一次联考数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    已知O为坐标原点，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段的比为1．
    （1）记函数f（α）=•，α∈（-，），讨论函数f（α）的单调性，并求其值域；
    （2）若O，P，C三点共线，求|+|的值．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年重庆市高三11月月考文科数学 题型：解答题

    (本小题满分12分) (Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问5分.)

    已知O为坐标原点，向量＝(sinα，1)，＝(cosα，0)，＝(－sinα，2)，点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段的比为1.

    (1)记函数f(α)＝·，α∈，讨论函数f(α)的单调性，并求其值域；

    (2)若O、P、C三点共线，求|＋|的值．

     

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